Question

已知關(guān)于x的方程cosx+sin²x+m-1=0（m∈R）恒有實(shí)數(shù)解，記m的所有可能取值構(gòu)成集合P；又焦點(diǎn)在x軸上的橢圓

x2

n+2

+y2=1（n∈R）的離心率的取值范圍為（0，

3

2

]，記n的所有可能取值構(gòu)成集合Q．設(shè)M=P∩Q，若λ為區(qū)間[-1，4]上的隨機(jī)數(shù)，則λ∈M的概率為（　　）

• A、

  1

  20

• B、

  9

  20

• C、

  1

  5

• D、

  2

  5

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型,模擬方法估計(jì)概率

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：根據(jù)方程cosx+sin²x+m-1=0（m∈R）恒有實(shí)數(shù)解，求出m的取值范圍，根據(jù)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓

x2

n+2

+y2=1（n∈R）的離心率的取值范圍為（0，

3

2

]，求出n的范圍，可得M，再根據(jù)幾何概型的概率公式進(jìn)行求解即可．

解答： 解：由cosx+sin²x+m-1=0得m=cosx²-cosx=（cosx-

1

2

）²-

1

4

，
∵-1≤cosx≤1，
∴-

1

4

≤m≤2，
即P=[-

1

4

，2]，
∵焦點(diǎn)在x軸上的橢圓

x2

n+2

+y2=1（n∈R）的離心率的取值范圍為（0，

3

2

]，
∴

n+2＞1 0＜ n+1 n+2 ≤ 3 4

，
∴-1＜n≤2，
∴Q=（-1，2]，
∴M=P∩Q=[-

1

4

，2]，
若λ為區(qū)間[-1，4]上的隨機(jī)數(shù)，
則λ∈M的概率P=

2-(- 1 4 )

4-(-1)

=

9

20

，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何概型的概率公式的應(yīng)用，根據(jù)條件求m、n的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．