Question

已知向量

a

=（x+z，3），

b

=（2，y-z），且

a

⊥

b

．若x，y滿足不等式|x|+|y|≤1，則z的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：根據(jù)平面向量的垂直的坐標(biāo)運(yùn)算法則，由已知

a

=（x+z，3），

b

=（2，y-z），且

a

⊥

b

，得到關(guān)于x，y，z的方程，即關(guān)于Z的目標(biāo)函數(shù)，畫(huà)出約束條x+y≤1對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，并求出各個(gè)角點(diǎn)的坐標(biāo)，代入即可求出目標(biāo)函數(shù)的最值，進(jìn)而給出z的取值范圍．

解答： 解：∵

a

=（x+z，3），

b

=（2，y-z），且

a

⊥

b

，
∴（x+z）×2+3×（y-z）=2x+3y-z=0，
即z=2x+3y，
∵滿足不等式|x|+|y|≤1的平面區(qū)域如下圖所示：
由圖可知當(dāng)x=0，y=1時(shí)，z取最大值3，
當(dāng)x=0，y=-1時(shí)，z取最小值-3，
故z的取值范圍為[-3，3]；
故答案為[-3，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩個(gè)平面向量的垂直性質(zhì)，簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用，其中利用平面向量的垂直的坐標(biāo)運(yùn)算法則，求出目標(biāo)函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．