Question

已知F₁是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)，以線段F₁O為邊作正三角形F₁OM，若頂點(diǎn) M在雙曲線上，則雙曲線的離心率是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出雙曲線的左焦點(diǎn)坐標(biāo)，正三角形F₁OM，則可設(shè)M（-

c

2

，

3

2

c），代入雙曲線方程，化簡整理，結(jié)合a，b，c的關(guān)系和離心率公式，解方程即可得到．

解答： 解：雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F₁為（-c，0），
以線段F₁O為邊作正三角形F₁OM，
則可設(shè)M（-

c

2

，

3

2

c），
由M在雙曲線上，則

c2

4a2

-

3c2

4b2

=1，
由e=

c

a

，b²=c²-a²，則

1

4

e²-

3

4

•

e2

e2-1

=1，
則e⁴-8e²+4=0，解得，e²=4±2

3

，
即有e=

3

+1或

3

-1（舍去）．
故答案為：

3

+1．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查離心率的求法，考查方程的化簡整理的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．