Question

9．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1-a_n=cos$\frac{nπ}{3}$，則a₂₀₁₆=0．

Answer 1

分析 利用a_n+1-a_n=cos$\frac{nπ}{3}$，可得a_n+6=a_n．即可得出．

解答 解：當(dāng)n=6k（k∈N^*）時(shí)，a_n+1-a_n=a_6k+1-a_6k=cos$\frac{6kπ}{3}$=1，
當(dāng)n=6k-1（k∈N^*）時(shí)，a_n+1-a_n=a_6k-a_6k-1=cos$\frac{6k-1}{3}π$=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)n=6k-2（k∈N^*）時(shí)，a_n+1-a_n=a_6k-1-a_6k-2=cos$\frac{6k-2}{3}π$=-$\frac{1}{2}$，
當(dāng)n=6k-3（k∈N^*）時(shí)，a_n+1-a_n=a_6k-2-a_6k-3=cos$\frac{6k-3}{3}π$=-1，
當(dāng)n=6k-4（k∈N^*）時(shí)，a_n+1-a_n=a_6k-3-a_6k-4=cos$\frac{6k-4}{3}π$=-$\frac{1}{2}$，
當(dāng)n=6k-5（k∈N^*）時(shí)，a_n+1-a_n=a_6k-4-a_6k-5=cos$\frac{6k-5}{3}π$=$\frac{1}{2}$．
∴a_n+6=a_n．
a₆-a₁=-1，a₆=0．
∴a₂₀₁₆=a_336×6=a₆=0．
故答案為：0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．