(本小題滿分12分)
如圖,在四棱柱中,底面是等腰梯形,,是線段的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)若垂直于平面,求平面和平面所成的角(銳角)的余弦值.

(I)證明:見解析;(II)平面和平面ABCD所成角(銳角)的余弦值為.

解析試題分析:(I)由四邊形ABCD是等腰梯形,且,
可得.
連接,可得,
從而得到四邊形為平行四邊形,
進(jìn)一步可得平面.
(II)本題解答可有兩種思路,一是向量法,二是幾何法.
思路一:連接AC,MC,可得,
得到.以C為坐標(biāo)原點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系.
利用.求角的余弦值.
思路二:按照“一作,二證,三計(jì)算”.
過C向AB引垂線交AB于N,連接,
平面ABCD,可得,
得到為二面角的平面角,
利用直角三角形中的邊角關(guān)系計(jì)算平面和平面ABCD所成角(銳角)的余弦值.

試題解析:(I)證明:因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形,
,
所以,又由M是AB的中點(diǎn),
因此.
連接,
在四棱柱中,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/51/6/bqesw1.png" style="vertical-align:middle;" />,
可得,
所以,四邊形為平行四邊形,
因此,
平面,平面,
所以平面.

(II)解法一:
連接AC,MC,
由(I)知CD//AM且CD=AM,
所以四邊形AMCD為平行四邊形,
可得,
由題意
所以為正三角形,
因此
因此.
以C為坐標(biāo)原點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系.

所以.
因此,
所以,,
設(shè)平面的一個法向量,
,得
可得平面的一個法向量.
為平面ABCD的一個法向量,
因此.
所以平面和平面ABCD所成角(銳角)的余弦值為.
解法二:
由(I)知,平面平面ABCD=AB,
過C向AB引垂線交AB于N,連接
平面ABCD,可得
因此為二面角的平面角,
中,

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