Question

3．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a，2b，c成等差數(shù)列，則cosB的最小值為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{7}{8}$

Answer 1

分析 a，2b，c成等差數(shù)列，可得4b=a+c，于是cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{16^{2}-2ac-^{2}}{2ac}$=$\frac{15^{2}}{2ac}$-1，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵a，2b，c成等差數(shù)列，∴4b=a+c，
則cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{（a+c）^{2}-2ac-^{2}}{2ac}$
=$\frac{16^{2}-2ac-^{2}}{2ac}$=$\frac{15^{2}}{2ac}$-1≥$\frac{15^{2}}{2×（\frac{a+c}{2}）^{2}}$-1=$\frac{7}{8}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2b時(shí)取等號．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了余弦定理、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．