Question

11．已知函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，f（2）=1，f'（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f'（x）的圖象如圖所示，若兩個正實數(shù)a，b  滿足f（2a+b-4）＜1，則 a²+b²的取值范圍是（　�。�

• A． $（\frac{4}{5}，36）$
• B． （1，36）
• C． $[\frac{4}{5}，\frac{36}{5}]$
• D． （1，9）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為不等式關(guān)系，利用線性規(guī)劃的知識進行求解即可．

解答 解：由f′（x）的圖象知，當(dāng)x＞0時，f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)，
即當(dāng)x=0時，函數(shù)f（x）取得極小值同時也是最小值，
∵函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，f（2）=1，
∴不等式f（2a+b-4）＜1，等價為f（|2a+b-4|）＜f（2），
即|2a+b-4|＜2，
即-2＜2a+b-4＜2，即2＜2a+b＜6
∵a，b是正實數(shù)，
∴作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域?qū)��?yīng)的平面區(qū)域如圖：
a²+b²的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到圓的距離的平方，
由圖象知，O到直線2a+b=2的距離最小，OB的距離最大，
其中B（0，6），則|OB|=6，
O到直線2a+b-2=0的距離d=$\frac{|-2|}{\sqrt{4+1}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
則（$\frac{2}{\sqrt{5}}$）²＜a²+b²＜|OB|²，
即$\frac{4}{5}$＜a²+b²＜36，
即 a²+b²的取值范圍是（$\frac{4}{5}$，36），
故選：A

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系，以及線性規(guī)劃的知識，根據(jù)條件進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．