Question

17．設(shè)平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G：y=$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{a}{2}$x-a²（x∈R），a為常數(shù)．
（1）若a≠0，曲線G的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，求經(jīng)過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)的圓C的一般方程；
（2）在（1）的條件下，求圓心C所在曲線的軌跡方程；
（3）若a=0，已知點(diǎn)M（0，3），在y軸上存在定點(diǎn)N（異于點(diǎn)M）滿足：對(duì)于圓C上任一點(diǎn)P，都有$\frac{|PN|}{|PM|}$為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)及該常數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出曲線G的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求經(jīng)過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)的圓C的一般方程；
（2）由（1）可得C（-$\frac{1}{2}a$，$\frac{1}{2}（2-{a}^{2}）$），消去a，求圓心C所在曲線的軌跡方程；
（3）令x=0，得到圓C與y軸交于點(diǎn)（0，0），（0，2），由此求出點(diǎn)N（0，$\frac{3}{2}$），對(duì)于圓C上任一點(diǎn)P，都有$\frac{|PN|}{|PM|}$為一常數(shù)，再進(jìn)行證明即可．

解答 解：（1）令x=0，得曲線與y軸的交點(diǎn)是（0，-a²），
令y=0，則$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{a}{2}$x-a²=0，解得x=-2a或x=a，
∴曲線與x軸的交點(diǎn)是（-2a，0），（a，0）．
設(shè)圓的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，則$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{4}-E{a}^{2}+F=0}\\{{a}^{2}+Da+F=0}\\{4{a}^{2}-2Da+F=0}\end{array}\right.$，
解得D=a，E=a²-2，F(xiàn)=-2a²，
∴圓的一般方程為x²+y²+ax+（a²-2）y-2a²=0；
（2）由（1）可得C（-$\frac{1}{2}a$，$\frac{1}{2}（2-{a}^{2}）$）
設(shè)C（x，y），則x=-$\frac{1}{2}a$，y=$\frac{1}{2}（2-{a}^{2}）$，消去a，得到y(tǒng)=1-2x²，
∵a≠0，
∴x≠0，
∴圓心C所在曲線的軌跡方程為y=1-2x²（x≠0）；
（3）若a=0，圓C的方程為x²+（y-1）²=1，
令x=0，得到圓C與y軸交于點(diǎn)（0，0），（0，2）
由題意設(shè)y軸上的點(diǎn)N（0，t）（t≠3），
當(dāng)P與圓C的交點(diǎn)為（0，2）時(shí)，$\frac{|PN|}{|PM|}$=$\frac{|t-2|}{1}$，
當(dāng)P與圓C的交點(diǎn)為（0，0）時(shí)，$\frac{|PN|}{|PM|}$=$\frac{|t|}{3}$，
由題意，$\frac{|t-2|}{1}$=$\frac{|t|}{3}$，∴t=$\frac{3}{2}$（t=3舍去）
下面證明點(diǎn)N（0，$\frac{3}{2}$），對(duì)于圓C上任一點(diǎn)P，都有$\frac{|PN|}{|PM|}$為一常數(shù)
設(shè)P（x，y），則x²+（y-1）²=1，
∴$\frac{|PN{|}^{2}}{|PM{|}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+（y-\frac{3}{2}）^{2}}{{x}^{2}+（y-3）^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{|PN|}{|PM|}$=$\frac{1}{2}$，
∴在y軸上存在定點(diǎn)N（0，$\frac{3}{2}$），滿足：對(duì)于圓C上任一點(diǎn)P，都有$\frac{|PN|}{|PM|}$為一常數(shù)$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程，考查圓心軌跡方程，考查存在性問(wèn)題的探究，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．