Question

14．點(diǎn)P（x₀，y₀）為雙曲線C：$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}$=1上一點(diǎn)，B₁、B₂為C的虛軸頂點(diǎn)，$\overrightarrow{P{B_1}}•\overrightarrow{P{B_2}}$＜8，則x₀的范圍是（　�。�

• A． $（-\frac{{6\sqrt{26}}}{13}\;，\;-2]∪[2\;，\;\frac{{6\sqrt{26}}}{13}）$
• B． $（-\frac{{6\sqrt{26}}}{13}\;，\;-2）∪（2\;，\;\frac{{6\sqrt{26}}}{13}）$
• C． $（-2\sqrt{2}\;，\;-2]∪[2\;，\;2\sqrt{2}）$
• D． $（-2\sqrt{2}\;，\;-2）∪（2\;，\;2\sqrt{2}]$

Answer 1

分析 由點(diǎn)P滿足雙曲線方程，由B₁（0，3），B₂（0，-3），運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：由題意可得9x₀²-4y₀²=36，
可得y₀²=$\frac{9}{4}$x₀²-9，
B₁（0，3），B₂（0，-3），
由$\overrightarrow{P{B_1}}•\overrightarrow{P{B_2}}$＜8，可得（-x₀，3-y₀）•（-x₀，-3-y₀）＜8，
即x₀²+y₀²-9＜8，
可得$\frac{13}{4}$x₀²-26＜0，
解得-2$\sqrt{2}$＜x₀＜2$\sqrt{2}$，
由x₀≥2或x₀≤-2，
可得-2$\sqrt{2}$＜x₀≤-2或2≤x₀＜2$\sqrt{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查點(diǎn)滿足雙曲線的方程，以及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查不等式的解法，屬于中檔題．