Question

已知橢圓中心在原點，焦點在y軸上，長軸長為6，離心率為

2

3

．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設橢圓在y軸的正半軸上的焦點為M，點A，B在橢圓上，且

AM

=2

MB

，求線段AB所在直線的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意可設橢圓的標準方程為：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．由已知可得2a=6，

c

a

=

2

3

，又a²=b²+c²，聯(lián)立解得即可．
（2）M（0，2）．設直線AB的方程為y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系，又

AM

=2

MB

，可得-x₁=2x₂．聯(lián)立解得即可．

解答： 解：（1）由題意可設橢圓的標準方程為：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．
∵長軸長為6，離心率為

2

3

．∴2a=6，

c

a

=

2

3

，又a²=b²+c²，
聯(lián)立解得a=3，c=2，b²=5．
∴橢圓的標準方程為

y2

9

+

x2

5

=1．
（2）M（0，2）．
設直線AB的方程為y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=kx+2 y2 9 + x2 5 =1

，化為（9+5k²）x²+20kx-25=0，
∴x₁+x₂=

-20k

9+5k2

，x₁x₂=

-25

9+5k2

．
又

AM

=2

MB

，∴-x₁=2x₂．
聯(lián)立可得

-800k2

(9+5k2)2

=

-25

9+5k2

，解得k2=

1

3

．
∴k=±

3

3

．
∴直線AB的方程為y=±

3

3

x+2．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系、向量的坐標運算，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．