Question

已知正方形AP₁P₂P₃的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)B，C分別是邊P₁P₂，P₂P₃的中點(diǎn)，沿AB，BC，CA折疊成一個(gè)三棱錐P-ABC（使P₁，P₂，P₃重合于點(diǎn)P），則三棱錐P-ABC的外接球的體積為（　�。�

• A、24π
• B、8

  6

  π
• C、4

  6

  π
• D、4π

Answer 1

考點(diǎn)：球內(nèi)接多面體,球的體積和表面積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：根據(jù)題意，得折疊成的三棱錐P-ABC三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，可得三棱錐P-ABC的外接球的直徑等于以PA、PB、PC為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)，由此結(jié)合AP=4、BP=CP=2算出外接球的半徑R=

1

2

×

4+4+16

=

6

，結(jié)合球的積公式即可算出三棱錐P-ABC的外接球的體積．

解答： 解：根據(jù)題意，得
三棱錐P-ABC中，AP=2，BP=CP=1
∵PA、PB、PC兩兩互相垂直，
∴三棱錐P-ABC的外接球的直徑2R=

AP2+BP2+CP2

=

4+4+16

=2

6

，
可得三棱錐P-ABC的外接球的半徑為R=

6

，
根據(jù)球的體積公式，得三棱錐P-ABC的外接球的體積為

4

3

π×（

6

）³=8

6

π，
故選：B，

點(diǎn)評(píng)：本題將正方形折疊成三棱錐，求三棱錐的外接球的表面積．著重考查了長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)公式、三棱錐的外接球和球的表面積公式等知識(shí)，屬于中檔題．