Question

7．己知函數(shù)f（x）=a（x-$\frac{1}{x}$）-2lnx，其中a∈R．
（1）若f（x）有極值，求a的取值范圍；
（2）討論（x）的零點個數(shù)，并說明理由．（參考數(shù)值：ln2≈0.6931）

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質得到關于a的不等式組，解出即可；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，結合函數(shù)的單調性判斷函數(shù)的零點根式即可．

解答 解：（1）f′（x）=a（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）-$\frac{2}{x}$=$\frac{{ax}^{2}-2x+a}{{x}^{2}}$，
f（x）的定義域是（0，+∞），
若f（x）有極值，
則ax²-2x+a=0有2個不相等的實數(shù)根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≠0}\\{{x}_{1}{•x}_{2}=1＞0}\\{△＞0}\\{{x}_{1}{+x}_{2}＞0}\end{array}\right.$，解得：0＜a＜1；
（2）由（1）得：f′（x）=$\frac{{ax}^{2}-2x+a}{{x}^{2}}$，x∈（0，+∞），
①若a≤0，則f′（x）＜0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）遞減，
∵f（1）=0，∴f（x）有唯一零點；
②若a≥1，則f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）遞增，
∵f（1）=0，∴f（x）有唯一零點；
③若0＜a＜1，記x₁，x₂分別為ax²-2x+a=0的兩根，
且x₁＜1＜x₂，且f（x）在（0，x₁）遞增，
在（x₁，x₂）遞減，在（x₂，+∞）遞增，
∵f（1）=0，故f（x₁）＞0，f（x₂）＜0，
當x∈（0，x₁）時，取x₀=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
f（$\frac{{a}^{2}}{4}$）=$\frac{{a}^{3}}{4}$-$\frac{4}{a}$-4lna+4ln2，
令h（a）=$\frac{{a}^{3}}{4}$-$\frac{4}{a}$-4lna+4ln2，a∈（0，1），
h′（a）=$\frac{{3a}^{4}+16（1-a）}{{a}^{2}}$，
顯然h′（a）＞0，所以h（a）在（0，1）遞增，
∴h（a）＜h（1）=4ln2-$\frac{15}{4}$＜0，
故f（$\frac{{a}^{2}}{4}$）＜0，故f（x）在x∈（$\frac{{a}^{2}}{4}$，x₁）有1個零點，
∵f（$\frac{1}{x}$）=a（$\frac{1}{x}$-x）-2ln$\frac{1}{x}$=-f（x），
∴f$\frac{4}{{a}^{2}}$）＞0，∴f（x）在x∈（x₂，$\frac{4}{{a}^{2}}$）上有1個零點，
綜上，a≤0或a≥1時，f（x）有唯一零點，
0＜a＜1時，f（x）有3個零點．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，是一道綜合題．