Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=3a_n-2．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log_1.5a_n，求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）利用遞推式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（II）利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： 解：（I）∵S_n=3a_n-2，∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=3a_n-1-2，
a_n=S_n-S_n-1=3a_n-2-（3a_n-1-2），化為an=

3

2

an-1，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=3a₁-2，解得a₁=1．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，
∴an=(

3

2

)n-1．
（II）b_n=log_1.5a_n=log1.51．5n-1=n-1．
∴a_n•b_n=(n-1)•(

3

2

)n-1．
∴數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n=0+

3

2

+2×(

3

2

)2+3×(

3

2

)3+…+(n-1)•(

3

2

)n-1，

3

2

Tn=0+(

3

2

)2+2×(

3

2

)3+…+(n-2)•(

3

2

)n-1+(n-1)•(

3

2

)n，
∴-

1

2

Tn=

3

2

+(

3

2

)2+…+(

3

2

)n-1-(n-1)•(

3

2

)n=

( 3 2 )n-1

3 2 -1

-1-(n-1)•(

3

2

)n=(3-n)•(

3

2

)n-3，
∴T_n=(2n-6)•(

3

2

)n+6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的應(yīng)用、“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．