Question

在如圖所示的多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF=2DE
（Ⅰ）求證：BD∥平面CEF．
（Ⅱ）若異面直線AB和CE成角為45°，求二面角B-CF-A的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）延長FE，AD，交于點(diǎn)G，取CF中點(diǎn)M，連結(jié)ME，GC，設(shè)AC∩BD=O，由三角形中位線定理得ME∥GC，OD∥GC，由平行公理得ME∥BD，由此能證明BD∥平面CEF．
（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=1，DE=t，t＞0，由異面直線AB和CE成角為45°，得t=1，分別求出平面BCF的法向量和平面APC的一個法向量，由此利用向量法能求出二面角B-CF-A的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：延長FE，AD，交于點(diǎn)G，取CF中點(diǎn)M，連結(jié)ME，GC，
設(shè)AC∩BD=O，
∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF=2DE，
∴D，E分別是AG、FG的中點(diǎn)，∴ME∥GC，OD∥GC，
∴ME∥OD，即ME∥BD，
又ME?平面CEF，BD?平面CEF，
∴BD∥平面CEF．
（Ⅱ）解：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=1，DE=t，t＞0．
則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），E（0，1，t），

AB

=（1，0，0），

CE

=（-1，0，t），
∵異面直線AB和CE成角為45°，
∴|cos＜

AB

，

CE

＞|=|cos45°|=|

-1

1+t2

|，
由t＞0，解得t=1，∴B（1，0，0），C（1，1，0），F(xiàn)（0，0，2），D（0，1，0），

BC

=（0，1，0），

BF

=（-1，0，2），
設(shè)平面BCF的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • BC =y=0 n • BF =-x+2z=0

，取x=2，得

n

=（2，0，1），
又BD⊥AC，BD⊥PA，∴BD⊥平面APC，
∴

BD

=（-1，1，0）是平面APC的一個法向量，
設(shè)二面角B-CF-A的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜

BD

，

n

＞|=|

BD • n

| BD |•| n |

|=|

-2

5 • 2

|=

10

5

，
∴二面角B-CF-A的余弦值為

10

5

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)，注意向量法的合理運(yùn)用．