Question

9．已知函數(shù)f（x）=x²+bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線的斜率為3，數(shù)列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n項和為S_n，則S₂₀₁₆的值為（　�。�

• A． $\frac{2013}{2014}$
• B． $\frac{2014}{2015}$
• C． $\frac{2015}{2016}$
• D． $\frac{2016}{2017}$

Answer 1

分析 由已知得f′（1）=2+b=3，從而b=1，進而$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，然后由裂項相消法求和可得．

解答 解：函數(shù)的導數(shù)f′（x）=2x+b，
∵點A（1，f（1））處的切線的斜率為3，
∴f′（1）=2+b=3，解得b=1．
∴f（x）=x²+x=x（x+1），
∴$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴S₂₀₁₆=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$）
=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$．
故選C．

點評 本題考查數(shù)列的求和，涉及導數(shù)和曲線某點切線的斜率以及裂項相消法求和，屬中檔題．