Question

4．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），過(guò)F₁作與x軸不重合的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)．
（I）若△ABF₂為正三角形，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）若橢圓的離心率滿足$0＜e＜\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：∠AOB為鈍角．（可供參考：$\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$）

Answer 1

分析 （I）△ABF₂為正三角形，則AB⊥x軸，可得|AF₁|=$\frac{1}{\sqrt{3}}$×2c，|AF₂|=2×|AF₂|．可得|AF₁|+|AF₂|=2a．解得a，b²=a²-c²．即可得出．．
（II）設(shè)直線l的方程為：ty-1=x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{^{2}+1}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1．（b＞0）．$0＜e＜\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，可得$0＜1-\frac{^{2}}{^{2}+1}$＜$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$．b²$＞\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．b⁴＞b²+1．直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：（b²t²+b²+1）y²-2b²ty-b⁴=0．利用根與系數(shù)的關(guān)系只要證明$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（ty₁-1）（ty₂-1）+y₁y₂=-t（y₁+y₂）+（t²+1）y₁•y₂+1＜0．

解答 （I）解：△ABF₂為正三角形，則AB⊥x軸，∴|AF₁|=$\frac{1}{\sqrt{3}}×2c$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，|AF₂|=2×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=2a．解得a=$\sqrt{3}$，∴b²=a²-c²=2．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（II）證明：設(shè)直線l的方程為：ty-1=x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{^{2}+1}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1．（b＞0）．
∵$0＜e＜\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，∴$0＜1-\frac{^{2}}{^{2}+1}$＜$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$．
解得：b²$＞\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．∴b⁴＞b²+1．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{ty-1=x}\\{\frac{{x}^{2}}{^{2}+1}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，化為：（b²t²+b²+1）y²-2b²ty-b⁴=0．
∴y₁+y₂=$\frac{2^{2}t}{^{2}{t}^{2}+^{2}+1}$，y₁•y₂=-$\frac{^{4}}{^{2}{t}^{2}+^{2}+1}$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（ty₁-1）（ty₂-1）+y₁y₂=-t（y₁+y₂）+（t²+1）y₁•y₂+1=-t•$\frac{2^{2}t}{^{2}{t}^{2}+^{2}+1}$-（t²+1）•$\frac{^{4}}{^{2}{t}^{2}+^{2}+1}$+1=$\frac{-（{t}^{2}+1）^{4}-^{2}{t}^{2}+^{2}+1}{^{2}{t}^{2}+^{2}+1}$＜$\frac{-（{t}^{2}+1）（^{2}+1）-^{2}{t}^{2}+^{2}+1}{^{2}{t}^{2}+^{2}+1}$=$\frac{-{t}^{2}}{^{2}{t}^{2}+^{2}+1}$≤0，
∴∠AOB為鈍角．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．