Question

5．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=|x-a|-a（a∈R）．若?x∈R，f（x+2016）＞f（x），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＜504．

Answer 1

分析 函數(shù)y=f（x+2016）的圖象是將y=f（x）像左平移2016個(gè)單位得到的，要使任意的x∈R，恒有f（x+2016）＞f（x），只需f（x+2016）的圖象恒在f（x）的圖象上方，據(jù)此列出關(guān)于a的不等式解出來(lái)即可．

解答 解：當(dāng)a＞0，x＞0時(shí)，該函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn)，關(guān)于x=a對(duì)稱，頂點(diǎn)為（a，-a），
結(jié)合該函數(shù)還是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
而函數(shù)y=f（x+2016）的圖象是將y=f（x）像左平移2016個(gè)單位得到的，
要使任意的x∈R，恒有f（x+2016）＞f（x），
只需f（x+2016）的圖象恒在f（x）的圖象上方，
所以只需y=f（x+2016）與x軸最右邊的交點(diǎn)在A（2a-2016，0）
在y=f（x）與x軸最左邊交點(diǎn)B（-2a，0）的左邊，
因此應(yīng)該有2a-2016＜-2a，解得0＜a＜504．
a≤0時(shí)，x＞0，f（x）=x，函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（x）=x，
∴?x∈R，f（x+2016）＞f（x），
綜上所述，a＜504．
故答案為：a＜504．

點(diǎn)評(píng) 這道題是將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．