Question

14．已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）滿足2f（x）+xf′（x）＞x²（x∈R），則對(duì)?x∈R都有（　　）

• A． x²f（x）≥0
• B． x²f（x）≤0
• C． x²[f（x）-1]≥0
• D． x²[f（x）-1]≤0

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)F（x）=x²f（x），求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)F（x）=x²f（x），
則F'（x）=2xf（x）+x²f'（x）=x（2f（x）+xf'（x）），
當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)'（x）＞x³＞0，F(xiàn)（x）遞增；
當(dāng)x＜0時(shí)，F(xiàn)'（x）＜x³＜0，F(xiàn)（x）遞減，
所以F（x）=x²f（x）在x=0時(shí)取最小值，
從而F（x）=x²f（x）≥F（0）=0，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．