Question

3．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足：|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，且$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{a}$．
（1）求向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角；
（2）求|3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{a}$便可得到$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}=0$，帶入$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，便可由條件求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$的值，從而得出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角；
（2）根據(jù)上面可得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=-1$，從可以求出$|3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{|}^{2}$的值，進(jìn)而得出$|3\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{a}$；
∴由條件，$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}=（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•\overrightarrow{a}$
=${\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow$
=$1+2cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$
=0；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=-\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角為$\frac{2π}{3}$；
（2）由上面$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=-1$；
∴$|3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{|}^{2}=9{\overrightarrow{a}}^{2}+6\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}$
=9-6+4
=7；
∴$|3\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量垂直的充要條件，向量的數(shù)量積運(yùn)算及計(jì)算公式，以及要求$|3\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$而求$|3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{|}^{2}$的方法．