Question

9．?dāng)?shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式是a_n=2ⁿ，b_n=3n+2，它們公共項(xiàng)由小到大排列構(gòu)成數(shù)列{c_n}．
（1）寫(xiě)出數(shù)列{c_n}的前5項(xiàng)；
（2）判斷數(shù)列{c_n}是否為等比數(shù)列，如果是，請(qǐng)給出證明，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意和a_n=2ⁿ，b_n=3n+2，依次求出數(shù)列{c_n}的前5項(xiàng)；
（2）先進(jìn)行判斷出再證明，設(shè)a_k=2^k是數(shù)列{b_n}中的第m項(xiàng)，則2^k=3m+2，（k、m∈N^*）．證明a_k+1不是數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)，a_k+2是數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)，求出c_n即可判斷出數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列．

解答 解：（1）∵a_n=2ⁿ，b_n=3n+2，
∴數(shù)列{c_n}的前5項(xiàng)是8、32、2⁷、2⁹、2¹¹；
（2）數(shù)列{c_n}是以4為公比的等比數(shù)列，證明如下：
∵a_n=2ⁿ，∴數(shù)列{a_n}是以2首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，
∴a₁=2．a(chǎn)₂=4．a(chǎn)₃=8，
知a₁、a₂顯然不是數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)．
∵a₃=8=3×2+2，∴a₃是數(shù)列{b_n}中的第2項(xiàng)，
設(shè)a_k=2^k是數(shù)列{b_n}中的第m項(xiàng)，則2^k=3m+2（k、m∈N^*）．
∵a_k+1=2^k+1=2×2^k=2（3m+2）=3（2m+1）+1，
∴a_k+1不是數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)．
∵a_k+2=2^k+2=4×2^k=4（3m+2）=3（4m+2）+2，
∴a_k+2是數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)，
∴c₁=a₃，c₂=a₅，c₃=a₇，…，c_n=a_2n+1，
∴數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式是c_n=2²ⁿ⁺¹（n∈N^*），
則數(shù)列{c_n}是以4為公比的等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，以及推理與證明能力，屬于中檔題．