Question

3．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax，$g（x）=\frac{1}{x}+a$．
（1）討論函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)性；
（2）若f（x）•g（x）≤0在定義域內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）通過討論f（x）的符號(hào)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷出a的范圍即可．

解答 解：（1）$F（x）=f（x）-g（x）=lnx-ax-\frac{1}{x}-a$，（x＞0）.${F^'}（x）=\frac{1}{x}-a+\frac{1}{x^2}$…（1分）
①若a≤0時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0，則F（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)…（2分）
②若 a＞0時(shí)，令F′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2a}$，令F′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2a}$，
則F（x）=f（x）-g（x）在$（0，\frac{{1+\sqrt{1+4a}}}{2a}）$上是增函數(shù)…（3分）
F（x）=f（x）-g（x）在$（\frac{{1+\sqrt{1+4a}}}{2a}，+∞）$上是減函數(shù)…（4分）
（2）若f（x）•g（x）≤0在定義域內(nèi)恒成立，考慮以下情形：
①當(dāng)f（x）≤0，g（x）≥0同時(shí)恒成立時(shí)，
由$f（x）=lnx-ax≤0，a≥\frac{lnx}{x}$恒成立…（5分）
得：$a≥\frac{1}{e}$…（6分）
∵由$g（x）≥0，\frac{1}{x}+a≥0$恒成立得：a≥0．∴$a≥\frac{1}{e}$…（7分）
②當(dāng)f（x）≥0，g（x）≤0同時(shí)恒成立時(shí)，a不存在；…（8分）
③當(dāng)a＜0時(shí)，∵f（x）=lnx-ax為增函數(shù)，$g（x）=\frac{1}{x}+a$為減函數(shù)，…（9分）
若它們有共同零點(diǎn)，則f（x）•g（x）≤0恒成立…（10分）
由f（x）=lnx-ax=0，$g（x）=\frac{1}{x}+a=0$，聯(lián)立方程組解得：a=-e…（11分）
綜上：$a≥\frac{1}{e}$或a=-e…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．