Question

18．定義在R上的函數(shù)f（x），如果存在函數(shù)g（x）=ax+b，（a，b為常數(shù)），使得f（x）≥g（x）
對一切實數(shù)x都成立，則稱g（x）為函數(shù)f（x）的一個承托函數(shù)．給出如下命題：
①函數(shù)g（x）=-2是函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}lnx，x＞0\\ 1，x≤0\end{array}\right.$的一個承托函數(shù)；
②函數(shù)g（x）=x-1是函數(shù)f（x）=x+sinx的一個承托函數(shù)；
③若函數(shù)g（x）=ax是函數(shù)f（x）=e^x的一個承托函數(shù)，則a的取值范圍是[0，e]；
④值域是R的函數(shù)f（x）不存在承托函數(shù)．
其中正確的命題的個數(shù)為2．

Answer 1

分析 ①，由f（x）=$f（x）=\left\{\begin{array}{l}lnx，x＞0\\ 1，x≤0\end{array}\right.$知，x＞0時，f（x）=lnx∈（-∞，+∞），不滿足f（x）≥g（x）=-2對一切實數(shù)x都成立，可判斷①；
②，令t（x）=f（x）-g（x），易證t（x）=x+sinx-（x-1）=sinx+1≥0恒成立，可判斷②；
③，令h（x）=e^x-ax，通過對a=0，a≠0的討論，利用h′（x）=e^x-a，易求x=lna時，函數(shù)取得最小值a-alna，依題意即可求得a的取值范圍，可判斷③；
④，舉例說明，f（x）=2x，g（x）=2x-1，則f（x）-g（x）=1≥0恒成立，可判斷④．

解答 解：①，∵x＞0時，f（x）=lnx∈（-∞，+∞），
∴不能使得f（x）≥g（x）=-2對一切實數(shù)x都成立，故①錯誤；
②，令t（x）=f（x）-g（x），則t（x）=x+sinx-（x-1）=sinx+1≥0恒成立，故函數(shù)g（x）=x-1是函數(shù)f（x）=x+sinx的一個承托函數(shù)，②正確；
③，令h（x）=e^x-ax，則h′（x）=e^x-a，
由題意，a=0時，結論成立；
a≠0時，令h′（x）=e^x-a=0，則x=lna，
∴函數(shù)h（x）在（-∞，lna）上為減函數(shù)，在（lna，+∞）上為增函數(shù)，
∴x=lna時，函數(shù)取得最小值a-alna；
∵g（x）=ax是函數(shù)f（x）=e^x的一個承托函數(shù)，
∴a-alna≥0，
∴l(xiāng)na≤1，
∴0＜a≤e，
綜上，0≤a≤e，故③正確；
④，不妨令f（x）=2x，g（x）=2x-1，則f（x）-g（x）=1≥0恒成立，故g（x）=2x-1是f（x）=2x的一個承托函數(shù)，④錯誤；
綜上所述，所有正確命題的序號是②③共2個．
故答案為：2

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，理解新定義“承托函數(shù)”的概念是解題的關鍵，考查等價轉化思想與邏輯思維能力與運算能力，屬于難題．