Question

16．如圖所示，EP交圓于E，C兩點(diǎn)，PD切圓于D，G為CE上一點(diǎn)且PG=PD，連接DG并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)A，作弦AB垂直EP，垂足為F．
（1）求證：BD⊥AD；
（2）若AC=BD，AB=6，求弦DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由已知PG=PD，得到∠PDG=∠PGD，由切割弦定理得到∠PDA=∠DBA，進(jìn)一步得到∠EGA=∠DBA，從而∠PFA=∠BDA．最后可得∠BDA=90°，說(shuō)明AB為圓的直徑；
（2）連接BC，DC．由AB是直徑得到∠BDA=∠ACB=90°，然后由Rt△BDA≌Rt△ACB，得到∠DAB=∠CBA．再由∠DCB=∠DAB可推得DC∥AB．進(jìn)一步得到ED為直徑，則ED長(zhǎng)可求．

解答 （1）證明：∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，
由于PD為切線，故∠PDA=∠DBA，
又∵∠EGA=∠PGD，∴∠EGA=∠DBA，
∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD，
從而∠PFA=∠BDA．
又AF⊥EP，∴∠PFA=90°，則∠BDA=90°，
故AB為圓的直徑，
∴BD⊥AD．

（2）解：連接BC，DC．
由于AB是直徑，故∠BDA=∠ACB=90°．
在Rt△BDA與Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，從而得Rt△BDA≌Rt△ACB，
于是∠DAB=∠CBA．
又∵∠DCB=∠DAB，∴∠DCB=∠CBA，故DC∥AB．
∵AB⊥EP，∴DC⊥EP，∠DCE為直角，
∴ED為直徑，又由（1）知AB為圓的直徑，
∴DE=AB=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，考查了圓的切割線定理的應(yīng)用，是中檔題．