Question

8．已知四棱錐P-ABCD如圖所示，其中四邊形ABCD是等腰梯形，且∠ADC+∠DAB=180°，AB=2AD=2DC=2BC=4，PA=PC，平面PAC⊥平面ABCD，點P到平面ABCD的距離為$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求證：PA⊥BC；
（Ⅱ）求直線BP與平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線面垂直的判定定理證明DE⊥平面PAC，然后根據(jù)DE∥BC的性質(zhì)即即可證明PA⊥BC；
（Ⅱ）建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法，利用向量法求直線BP與平面PCD所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）證明：∵∠ADC+∠DAB=180°，
∴CD∥AB，
∵AB=2AD=2DC=2BC=4，
∴AB=4，AD=DC=BC=2，
取AB的中點E，則四邊形AECD是菱形，且∠DAE=60°，
連接DE，AC相交于O，
則AC⊥DE，
∵PA=PC，∴△PAC是等腰三角形，
則PO⊥AC，
∵平面PAC⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，即PO是點P到平面ABCD的距離，即PO=$\sqrt{3}$．
∵DE⊥AC，平面PAC⊥平面ABCD，
∴DE⊥平面PAC，
∵PA?平面PAC，
∴DE⊥PA，
∵BC∥DE，
∴BC⊥PA
即PA⊥BC；
（Ⅱ）建立以O為坐標原點，OA，OE，OP分別為x，y，z軸的空間直角坐標系如圖：
則OE=OD=1，OA=OC=$\sqrt{3}$．
則P（0，0，$\sqrt{3}$），C（-$\sqrt{3}$，0，0），B（-$\sqrt{3}$，2，0），D（0，-1，0）
則$\overrightarrow{PC}$=（-$\sqrt{3}$，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PD}$=（0，-1，-$\sqrt{3}$），
設平面PCD的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{PC}$=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$z=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{PD}$=-y-$\sqrt{3}$z=0，
令z=1，則x=1，y=-$\sqrt{3}$，
則$\overrightarrow{m}$=（1，-$\sqrt{3}$，1），
$\overrightarrow{PB}$=（-$\sqrt{3}$，2，-$\sqrt{3}$），
設直線BP與平面PCD所成角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{PB}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{PB}|}$|=|$\frac{-\sqrt{3}-2\sqrt{3}-\sqrt{3}}{\sqrt{1+1+3}•\sqrt{3+4+3}}$|=$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{5}•\sqrt{14}}$=$\frac{2\sqrt{210}}{35}$，
即求直線BP與平面PCD所成角的正弦值是$\frac{2\sqrt{210}}{35}$．

點評 本題主要考查線面垂直的應用以及線面角的求解，根據(jù)直線平行的性質(zhì)以及線面垂直的判定定理，以及建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法求線面角是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．