Question

1．隨著社會發(fā)展，廣州市在一天的上下班時段經常會出現(xiàn)堵車嚴重的現(xiàn)象．交通指數(shù)是交通擁堵指數(shù)的簡稱，是綜合反映道路網暢通或擁堵的概念．記交通指數(shù)為T，其范圍為[0，10]，分別有5個級別；T∈[0，2）暢通；T∈[2，4）基本暢通；T∈[4，6）輕度擁堵；T∈[6，8）中度擁堵；T∈[8，10）嚴重擁堵．早高峰時段（T≥3），從廣州市交通指揮中心隨機選取了50個交通路段進行調查，依據交通指數(shù)數(shù)據繪制的直方圖如圖所示：
（1）據此直方圖，估算交通指數(shù)T∈[3，9）時的中位數(shù)和平均數(shù)；
（2）據此直方圖，求市區(qū)早高峰馬路之間的3個路段至少有2個嚴重擁堵的概率；
（3）某人上班路上所用時間，若暢通時為20分鐘，基本暢通為30分鐘，輕度擁堵為35分鐘；中度擁堵為45分鐘；嚴重擁堵為60分鐘，求此人上班所用時間的數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）由直方圖知：T∈[3，9]時交通指數(shù)的中位數(shù)為5+1×$\frac{0.2}{0.24}$．T∈[3，9]時交通指數(shù)的平均數(shù)3.5×0.1+4.5×0.2+5.5×0.24+6.5×0.2+7.5×0.16+8.5×0.1．
（2）設事件A為“一條路段嚴重擁堵”，則P（A）=0.1．則3條路段中至少有兩條路段嚴重擁堵的概率為：P=${∁}_{3}^{2}×（\frac{1}{10}）^{2}×\frac{9}{10}$+${∁}_{3}^{3}×（\frac{1}{10}）^{3}$．
（3）由題意，所用時間x的分布列如下表，即可得出此人經過該路段所用時間的數(shù)學期望．

解答 解：（1）由直方圖知：T∈[3，9]時交通指數(shù)的中位數(shù)為5+1×$\frac{0.2}{0.24}$=$\frac{35}{6}$．
T∈[3，9]時交通指數(shù)的平均數(shù)3.5×0.1+4.5×0.2+5.5×0.24+6.5×0.2+7.5×0.16+8.5×0.1=5.92．
（2）設事件A為“一條路段嚴重擁堵”，則P（A）=0.1．
則3條路段中至少有兩條路段嚴重擁堵的概率為：P=${∁}_{3}^{2}×（\frac{1}{10}）^{2}×\frac{9}{10}$+${∁}_{3}^{3}×（\frac{1}{10}）^{3}$=$\frac{7}{250}$．
∴3條路段中至少有兩條路段嚴重擁堵的概率為$\frac{7}{250}$．
（3）由題意，所用時間x的分布列如下表：

x	30	35	45	60
P	0.1	0.44	0.36	0.1

則Ex=30×0.1+35×0.44+45×0.36+60×0.1=40.6．
∴此人經過該路段所用時間的數(shù)學期望是40.6分鐘．

點評 本題考查了頻率分布直方圖的性質、二項分布列的性質及其有關計算、數(shù)學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．