Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（8+x）=f（8-x），f（3+x）=f（-1+x），且f（x）不是常函數(shù)，則f（x）是（　�。�

• A、是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)
• B、是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)
• C、是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)
• D、既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,抽象函數(shù)及其應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：本題利用已知條件，求出f（-x）與f（x）的關(guān)系，得到函數(shù)為偶函數(shù)，再用反證法說明函數(shù)不是奇函數(shù)，得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵f（3+x）=f（-1+x），
令x-1=t，則：x+3=t+4，
∴f（t）=f（t+4），
∵f（8+x）=f（8-x），
∴f（-x）=f（-x+4）=f[8-（4+x）]=f[8+（4+x）]=f（12+x）=f（x）．
∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．
假設(shè)f（x）是奇函數(shù)，則有f（-x）=-f（x），∴f（x）=0，與f（x）不是常函數(shù)矛盾，
故假設(shè)不成立．
∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)不是奇函數(shù)，
故選B．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．