Question

20．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距為2，且與橢圓x²+$\frac{y^2}{2}$=1有相同離心率． 
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l：y=kx+m與橢圓C交于不同的A，B兩點，且橢圓C上存在點Q，滿足$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=λ\overrightarrow{OQ}$（O為坐標原點），求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知得c=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由此能求出橢圓C的標準方程；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），分類討論：當λ=0時，利用橢圓的對稱性即可得出；λ≠0時，設直線AB的方程為y=kx+m．與橢圓的方程聯(lián)立得到△＞0及根與系數(shù)的關系，再利用向量相等，代入計算即可得出．

解答 解：（1）∵焦距為2，∴c=1．
又∵橢圓x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀）．
當λ=0時，由$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=λ\overrightarrow{OQ}$知$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}$，A與B關于原點對稱，存在Q滿足題意，∴λ=0成立；
當λ≠0時，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
由△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0，解得m²＜1+2k²…（*），
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{2m}{1+2{k}^{2}}$．
由$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=λ\overrightarrow{OQ}$，得（x₁+x₂，y₁+y₂）=（λx₀，λy₀），可得x₁+x₂=λx₀，y₁+y₂=λy₀，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{1}{λ}（{x}_{1}+{x}_{2}）=\frac{1}{λ}•\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}}\\{{y}_{0}=\frac{1}{λ}（{y}_{1}+{y}_{2}）=\frac{1}{λ}•\frac{2m}{1+2{k}^{2}}}\end{array}\right.$，
代入到$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，得${m}^{2}=\frac{{λ}^{2}}{4}（1+2{k}^{2}）$，
代入（*）式，得$\frac{{λ}^{2}}{4}（1+2{k}^{2}）＜1+2{k}^{2}$，
由1+2k²＞0，得λ²＜4，解得-2＜λ＜2且λ≠0．
綜上λ∈（-2，2）．

點評 本題考查橢圓的標準方程的求法，考查了橢圓的簡單性質、涉及直線與橢圓相交問題，常轉化為關于x的一元二次方程，利用△＞0及根與系數(shù)的關系、向量相等等基礎知識與基本技能方法求解，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．