Question

9．若直線x=m（m＞1）與函數(shù)f（x）=log_ax，g（x）=log_bx的圖象及x軸分別交于A，B，C三點(diǎn)．若|AB|=2|BC，則|（　�。�

• A． b=a²或a=b²
• B． a=b^-1或a=b³
• C． a=b^-1或b=a³
• D． a=b³

Answer 1

分析 由條件便可得到|AB|=|log_am-log_bm|，|BC|=|log_bm|，都換成以m為底，再由|AB|=2|BC|即可得到$|\frac{lo{g}_{m}b-lo{g}_{m}a}{lo{g}_{m}a}|=2$，進(jìn)一步即可得到log_mb-log_ma=±2log_ma，進(jìn)行對(duì)數(shù)式的運(yùn)算即可得出a，b的關(guān)系，從而找出正確選項(xiàng)．

解答 解：根據(jù)條件，|AB|=|log_am-log_bm|=$|\frac{1}{lo{g}_{m}a}-\frac{1}{lo{g}_{m}b}|=|\frac{lo{g}_{m}b-lo{g}_{m}a}{lo{g}_{m}a•lo{g}_{m}b}|$，
$|BC|=|lo{g}_m|=\frac{1}{|lo{g}_{m}b|}$；
∵|AB|=2|BC|；
∴$|\frac{lo{g}_{m}b-lo{g}_{m}a}{lo{g}_{m}a•lo{g}_{m}b}|=\frac{2}{|lo{g}_{m}b|}$；
∴$|\frac{lo{g}_{m}b-lo{g}_{m}a}{lo{g}_{m}a}|=2$；
∴|log_mb-log_ma|=2|log_ma|；
∴l(xiāng)og_mb-log_ma=±2log_ma；
∴l(xiāng)og_ma=-log_mb或log_mb=3log_ma；
∴a=b^-1，或b=a³．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，清楚x=m的圖象，橫坐標(biāo)相等的兩點(diǎn)間距離的求法，以及對(duì)數(shù)的換底公式，對(duì)數(shù)式的運(yùn)算性質(zhì)．