Question

焦點在x軸的橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

4

=1（3≤a≤4），過C₁右頂點A₂（a，0）的直線l：y=k（x-a）（k＞0）與曲線C₂：y=x²-

ak

4

相切，交C₁于A₂、E二點．
（1）若C₁的離心率為

5

3

，求C₁的方程．
（2）求|A₂E|取得最小值時C₂的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由C₁的離心率e=

a2-4

a

=

5

3

得a²=9，即可求出C₁的方程．
（2）利用韋達定理，表示出|A₂E|，利用換元，導(dǎo)數(shù)法，即可求|A₂E|取得最小值時C₂的方程．

解答： 解：（1）由C₁的離心率e=

a2-4

a

=

5

3

得a²=9…（2分）
∴C1：

x2

9

+

y2

4

=1…（3分）
（2）l與C₂方程聯(lián)立消y得x2-kx+

3ak

4

=0
由l與C₂相切知△=k²-3ak=0，由k＞0知k=3a…（5分）
l與C₁方程聯(lián)立消y得（4+a²k²）x²-2a³k²x+a⁴k²-4a²=0…①…（6分）
設(shè)點E（x_E，y_E），則
∵l交C₁于A₂、E二點，∴x_E、a是①的二根，
∴xE=

a3k2-4a

4+a2k2

，故xE-a=

-8a

4+a2k2

…（8分）
∴|A2E|2=(xE-a)2+

y

2 E

=(1+k2)(xE-a)2=(1+9a2)

64a2

(4+9a4)2

=64

9a4+a2

(4+9a4)2

…（10分）
令t=a²∈[9，16]，則|A2E|2=64

9t2+t

(4+9t2)2

令f(t)=

9t2+t

(4+9t2)2

 (9≤t≤16)，則f′(t)=

18t(4-9t2)+(4-27t2)

(9t2+4)3

＜0在t∈[9，16]上恒成立
故f（t）在[9，16]上單減                             …（12分）
故t=16即a=4，k=12時f（t）取得最小值，則|A₂E|取得最小值
此時C2：y=x2-12…（14分）

點評：本題考查橢圓、拋物線的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，難度大．