Question

18．已知函數(shù)f（x）=xlnx-2x+4，是否存在實數(shù)m，使得m+mf′（x）≤xf（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求實數(shù)m的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 問題轉(zhuǎn)化為m≤$\frac{x（xlnx-2x+4）}{lnx}$在x∈（1，+∞）上恒成立，令g（x）=$\frac{x（xlnx-2x+4）}{lnx}$，x∈（1，+∞），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最小值即m的最大值即可．

解答 解：∵f（x）=xlnx-2x+4的定義域是（0，+∞），
∴f′（x）=lnx-1，
若m+mf′（x）≤xf（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，
即m≤$\frac{x（xlnx-2x+4）}{lnx}$在x∈（1，+∞）上恒成立，
令g（x）=$\frac{x（xlnx-2x+4）}{lnx}$，x∈（1，+∞），
則g′（x）=$\frac{2{x（lnx）}^{2}-4xlnx+2x+4lnx-4}{{（lnx）}^{2}}$=$\frac{2（lnx-1）[x（lnx-1）+2]}{{（lnx）}^{2}}$，
令h（x）=xlnx-x+2，x＞1，
則h′（x）=lnx＞0，h（x）在（1，+∞）遞增，
∴h（x）＞h（1）=1＞0，
故令g′（x）＞0，解得：x＞e，令g′（x）＜0，解得：1＜x＜e，
∴g（x）在（1，e）遞減，在（e，+∞）遞增，
∴g（x）≥g（e）=4e-e²，
∴m≤4e-e²，
故m的最大值是4e-e²．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．