Question

15．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，上底面中心為O，則異面直線AO與DC₁所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 建立空間坐標(biāo)系，求出兩異面直線的方向向量，利用數(shù)量積公式求出兩向量夾角余弦的絕對值，即所求的異面直線AO與DC₁所成角的余弦值

解答 解：建立如圖的坐標(biāo)系，以DA所在直線為橫軸，DC所在直線為縱軸，DD₁所在直線為豎軸．
設(shè)正方體棱長為2，

則A（2，0，0），O（1，1，2），C₁（0，2，2），
∴$\overrightarrow{AO}$=（-1，1，2），$\overrightarrow{{DC}_{1}}$=（0，2，2），
則異面直線AO與DC₁所成角θ的余弦值為：
$\frac{|\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{{DC}_{1}}|}{\left|\overrightarrow{AO}\right|•\left|\overrightarrow{{DC}_{1}}\right|}$=$\frac{2+4}{\sqrt{1+1+4}•\sqrt{4+4}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
故答案為：$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

點評 本題考查用空間向量求直線間的夾角、距離，解答本題，關(guān)鍵是掌握住向量法求夾角的公式，向量在幾何中的應(yīng)用是高中數(shù)學(xué)引入向量的一大亮點，它大大降低了立體幾何解題的思維難度，應(yīng)好好總結(jié)此類題做題的規(guī)律．