Question

3．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c若$\overrightarrow{m}$=（2b，1），$\overrightarrow{n}$=（ccosA+acosC，cosA），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
（ I）求角A的值．
（ II）若△ABC的面積S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析 （I）利用向量共線的性質(zhì)，正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的規(guī)律可求2sinBcosA-sinB=0，結(jié)合sinB≠0，可求cosA=$\frac{1}{2}$，進(jìn)而可求A的值．
（II）利用三角形面積公式可求a²=bc，利用余弦定理可求b²+c²-a²=bc，聯(lián)立解得b=c，結(jié)合A=$\frac{π}{3}$，即可得解△ABC是等邊三角形．

解答 （本題滿分為12分）
解：（ I）∵$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，
∴2bcosA-ccosA-acosC=0，…（2分）
∴2sinBcosA-sinCcosA-sinAcosC=0，…（3分）
∴2cosBcosA-sin（A+C）=0，即2sinBcosA-sinB=0，…（4分）
∵sinB≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
又∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$；…（6分）
（ II）∵S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}bc}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，
∴a²=bc，…（7分）
在△ABC中，∵cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∴b²+c²-a²=bc，…（9分）
又∵a²=bc，
∴b²+c²-2bc=0，（b-c）²=0，…（11分）
∴b=c，
又∵A=$\frac{π}{3}$，
∴△ABC是等邊三角形．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了向量共線的性質(zhì)，正弦定理，三角函數(shù)恒等變換，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．