Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-3x．
（1）求函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間；
（2）若在區(qū)間[1，2]上，f（x）≥4恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)恒成立問題

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）a=0時，函數(shù)是減函數(shù)；a≠0時，由f（x）=ax³-3x（a≠0）⇒f′（x）=3ax²-3=3（ax²-1），分a＞0與a＜0討論，通過f′（x）的符號即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得出函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值，即得到參數(shù)的一個方程，從而求出參數(shù)．

解答： 解：（1）a=0時，f（x）=-3x，
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間是R；
當(dāng)a≠0時，
∵f（x）=ax³-3x，a≠0，
∴f′（x）=3ax²-3=3（ax²-1），
∴當(dāng)a＞0時，
由f′（x）＞0得：x＞

a

a

或x＜-

a

a

，
由f′（x）＜0得：-

a

a

＜x＜

a

a

當(dāng)a＜0時，由f′（x）＞0得：x∈∅
由f′（x）＜0得：x∈R；
∴當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-

a

a

），（

a

a

，+∞）；函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-

a

a

，

a

a

），）；
當(dāng)a＜0時函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為R；
（2）f′（x）=3ax²-3．
①當(dāng)a≤0時，f′（x）≤0，此時函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（2）=8a-6=4，
解得a=

5

4

，不符合a≤0，應(yīng)舍去；
②當(dāng)a＞0時，令f′（x）=3a（x+

1

a

）（x-

1

a

）=0，解得x=±

1

a

．
當(dāng)2≤

1

a

時，即0＜a≤

1

4

時，f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（2）=8a-6=4，
解得a=

5

4

，不符合0＜a≤

1

4

時，應(yīng)舍去；
當(dāng)1＜

1

a

＜2時，即

1

4

＜a＜1時，f（x）在區(qū)間[1，

1

a

]單調(diào)遞減，在區(qū)間[

1

a

，2]單調(diào)遞增，
∴f（x）min=f（

1

a

）=-

2

a

=4，無解，應(yīng)舍去；
當(dāng)

1

a

≤1時，即a≥1時，f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（1）=a-3=4，解得a≥7，符合題意．
綜上可知：實數(shù)a的范圍a≥7．

點評：本題考查的是導(dǎo)數(shù)知識，重點是利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，難點是分類討論．對學(xué)生的能力要求較高，屬于中檔題．