Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為

3

，動點P在對角線BD₁上，過點P作垂直于BD₁的平面α，記這樣得到的截面多邊形（含三角形）的周長為y，設(shè)BP=x，則當x∈[

1

2

，

5

2

]時，函數(shù)y=f（x）的值域為（　�。�

• A、[

  6

  ，3

  6

  ]
• B、[

  3 6

  2

  ，3

  6

  ]
• C、[

  3 6

  2

  ，9]
• D、[

  6

  ，9]

Answer 1

考點：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,空間位置關(guān)系與距離

分析：驗證x=BP=

1

2

，1，

3

2

時，y=f（x）的值是什么，分析函數(shù)y=f（x）的變化情況，從而得出正確的判斷．

解答： 解：∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為

3

，
∴BD₁=

3

AB=3，
當BP=

1

2

時，如圖所示；

三棱錐B-EFG的底面是正三角形，設(shè)邊長EF=a，則BE=

a

2

，
∴

1

3

•

3

4

a²•

1

2

=

1

3

•

1

2

•

a

2

•

a

2

•

a

2

；
解得a=

6

2

，
y=f（x）=

3 6

2

；
當EF=

2

AB=

6

時，y=f（x）=3

6

，如圖所示；

1

3

•

3

4

•

6

•

6

•BP=

1

3

•

1

2

•

3

•

3

•

3

，
此時BP=1；
當BP=

3

2

時，截面為六邊形EFGHIJ，
且EF=FG=GH=HI=IJ=JE=

1

2

AC=

6

2

，如圖所示；

此時y=f（x）=

3 6

2

；
∴x∈[

1

2

，

5

2

]時，函數(shù)y=f（x）的值域應(yīng)為[

3 6

2

，3

6

]．
故選：B．

點評：本題考查了空間幾何體的應(yīng)用問題，也考查了作圖和讀圖的能力，解題時應(yīng)根據(jù)幾何體的特征和條件進行分析變化情況，是難題．