Question

若f（x）是R上的奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)．若對(duì)于任意x∈R都有f(cos2x+2msinx-

5

2

)＜0恒成立．求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用奇函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，可由已知f(cos2x+2msinx-

5

2

)＜0恒成立得到2msinx＜sin²x+

3

2

恒成立；分sinx＞0、sinx=0與sinx＜0三類(lèi)討論，利用雙鉤函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)可分別求得實(shí)數(shù)m的取值范圍，最后取交集解．

解答： 解：∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
∴f(cos2x+2msinx-

5

2

)＜0恒成立?f（cos²x+2msinx-

5

2

）＜f（0）恒成立，
又f（x）在R上是增函數(shù)，
∴cos²x+2msinx-

5

2

=1-sin²x+2msinx-

5

2

=-sin²x+2msinx-

3

2

＜0恒成立，
∴2msinx＜sin²x+

3

2

恒成立，
若sinx＞0，則m＜

1

2

（sinx+

3 2

sinx

）恒成立，令t=sinx（0＜t≤1），g（t）=

1

2

（t+

3 2

t

），
由雙鉤函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)可知g（t）在（0，1]上單調(diào)遞減，
∴g（t）_min=g（1）=

1

2

（1+

3

2

）=

5

4

，
∴m＜

5

4

；
若sinx＜0，則m＞

1

2

（sinx+

3 2

sinx

）恒成立，同理可得，g（t）=

1

2

（t+

3 2

t

）在[-1，0]上單調(diào)遞減，
∴g（t）_max=g（-1）=

1

2

（-1-

3

2

）=-

5

4

，
∴m＞-

5

4

；
若sinx=0，?m∈R，2msinx=0＜sin²x+

3

2

=

3

2

恒成立；
綜上所述，-

5

4

≤m≤

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，著重考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用，突出雙鉤函數(shù)單調(diào)性的考查，滲透化歸思想與運(yùn)算能力的考查，屬于難題．