Question

已知O是△ABC的外心，AB=6，AC=10，若

AO

=x

AB

+y

AC

，且2x+10y=5，則△ABC的面積為（　�。�

• A、24
• B、

  20 2

  3

• C、18或

  20 2

  3

• D、24或20

  2

Answer 1

考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：取AC中點(diǎn)為D，則OD⊥AC，把寫(xiě)為

AO

=

AD

+

DO

，然后用兩種方法寫(xiě)出，由數(shù)量積相等結(jié)合2x+10y=5，需要分類討論，當(dāng)x≠0求得cos∠BAC，進(jìn)一步得到其正弦值，代入三角形的面積公式求得三角形ABC的面積，當(dāng)x=0時(shí)，得到三角形為直角三角形，求出面積，問(wèn)題得以解決

解答： 解：取AC的中點(diǎn)，則OD⊥AC，

DO

⊥

.

AC

如圖所示∵

AO

=

AD

+

DO

，
∴

AO

•

AC

=

AD

•

AC

+

DO

•

AC

=|

AD

|•|

AC

|COS0=5×10=50，
∵

AO

=x

AB

+y

AC

，
∴

AO

•

AC

=（x

AB

+y

AC

）•

AC

=x

AB

•

AC

+y|

AC

|2=x|

AB

||

AC

|cos∠BAC+y|

AC

|2=60x•cos∠BAC+100y，
∴60x•cos∠BAC+100y=50
∵2x+10y=5，
∴60xcos∠BAC=20x，
當(dāng)x≠0時(shí)，
∴cos∠BAC=

1

3

，
∴sin∠BAC=

2 2

3

，
∴S_△ABC=

1

2

AB•AC•sin∠BAC=

1

2

×6×10×

2 2

3

=20

2

當(dāng)x=0時(shí)，則y=

1

2

，
∴

AO

=0

AB

+

1

2

AC

，
∴

AO

=

1

2

AC

，
∴點(diǎn)A，0，C共線，
∴即點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，
∴三角形ABC以B為直角的直角三角形，
∴BC=

AC2-AB2

=

102-62

=8，
∴S_△ABC=

1

2

AB•BC=

1

2

×6×8=24
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量在幾何中的應(yīng)用，考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了三角形面積公式的應(yīng)用，是中檔題．