Question

14．某地?cái)M建造一座體育館，其設(shè)計(jì)方案側(cè)面的外輪廓線如圖所示：曲線AB是以點(diǎn)E的圓心的圓的一部分，其中E（0，t）（0＜t≤25），GF是圓的切線，且GF⊥AD，曲線BC是拋物線y=-ax²+50（a＞0）的一部分，CD⊥AD，且CD恰好等于圓E的半徑．
（1）若CD=30米，AD=24$\sqrt{5}$米，求t與a的值；
（2）若體育館側(cè)面的最大寬度DF不超過75米，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由CD=30米，AD=24$\sqrt{5}$米，代入拋物線的方程，結(jié)合圓的方程，即可解得答案；
（2）問題轉(zhuǎn)化為$\sqrt{\frac{1}{a}}$≤$\sqrt{t}$+$\frac{25}{\sqrt{t}}$恒成立，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)解出即可．

解答 解：（1）因?yàn)閳AE的半徑為OB-OE=50-t，所以CD=50-t=30，t=20，
令y=-ax²+50=50-t，得$OD=\sqrt{\frac{t}{a}}$
圓E：x²+（y-20）²=30²，令y=0，得$AO=10\sqrt{5}$，
所以$OD=AD-OA=24\sqrt{5}-10\sqrt{5}=14\sqrt{5}$，
即$\sqrt{\frac{t}{a}}=14\sqrt{5}$，又t=20，得$a=\frac{1}{49}$．
（2）$DF=OF+OD=50-t+\sqrt{\frac{t}{a}}$
由題意得：$50-t+\sqrt{\frac{t}{a}}≤75$對t∈（0，25]恒成立，
所以$\sqrt{\frac{1}{a}}≤\sqrt{t}+\frac{25}{{\sqrt{t}}}$恒成立，
當(dāng)$\sqrt{t}=\frac{25}{{\sqrt{t}}}$，即t=25時(shí)，${（\sqrt{t}+\frac{25}{{\sqrt{t}}}）_{min}}=10$，
所以$\sqrt{\frac{1}{a}}≤10$，解得$a≥\frac{1}{100}$，
故a的取值范圍為[$\frac{1}{100}，+∞$）

點(diǎn)評 本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，考查三角函數(shù)問題，考查函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題．