Question

11．已知過(guò)點(diǎn)P（1，1）的直線L與雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線L的斜率k=$\frac{5}{2}$或-2或2．

Answer 1

分析 結(jié)合雙曲線的性質(zhì)與圖形即可得過(guò)點(diǎn)（1，1）與雙曲線公有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的斜率．

解答 解：雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的漸近線方程為：y=±2x，
①直線x=1與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)直線的斜率不存在；
②過(guò)點(diǎn)P （1，1）平行于漸近線y=±2x時(shí)，直線L與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)直線L的斜率k=2或-2，
③設(shè)過(guò)P的切線方程為y-1=k（x-1）與雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1聯(lián)立，利用△=0可得k=$\frac{5}{2}$，此時(shí)直線的斜率為k=$\frac{5}{2}$，
綜上直線L的斜率k=$\frac{5}{2}$或-2或2，
故答案為：$\frac{5}{2}$或-2或2

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．突出考查了雙曲線的幾何性質(zhì)．注意要利用分類討論的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行討論．