Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，圓與軸負半軸交于點，過點的直線,分別與圓交于,兩點．

（Ⅰ）若,，求的面積；

（Ⅱ）若直線過點，證明：為定值，并求此定值．

Answer 1

【答案】（I）；（II）證明見解析，．

【解析】

試題分析：（I）由題意，得出直線的方程為，直線的方程為，由中位線定理，得，由此可求解的面積；（II）當直線斜率存在時，設直線的方程為，代入圓的方程，利用根與系數的關系、韋達定理，即可化簡得出為定值；當斜率不存在時，直線的方程為，代入圓的方程可得：，，即可得到為定值．

試題解析：（Ⅰ）由題知，所以，為圓的直徑，

的方程為，直線的方程為，

所以圓心到直線的距離，

所以，由中位線定理知，，

；

（Ⅱ）設、，

①當直線斜率存在時，設直線的方程為，代入圓的方程中有：

，整理得：，

則有，，

；

②當直線斜率不存在時，直線的方程為，

代入圓的方程可得：，，；

綜合①②可得：為定值，此定值為．