Question

【題目】已知，若在區(qū)間上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，設(shè), ，當(dāng)時(shí)， 在上恒成立，即函數(shù)在上為增函數(shù)，而， ，則函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，使，且在上， ，在上， ，故為函數(shù)在區(qū)間上唯一的極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以成立，則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，又此時(shí)，所以在區(qū)間上恒成立，即，故函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在區(qū)間上無(wú)極值；當(dāng)時(shí)， ，因?yàn)?/span>，所以總有成立，即成立，故函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在區(qū)間上無(wú)極值，綜上所述，得.

點(diǎn)晴:本題考查了函數(shù)與極值的綜合應(yīng)用.考查函數(shù)需先求一階導(dǎo)數(shù)成立的，再判斷零點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值是否異號(hào)，如果零點(diǎn)左側(cè)導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)導(dǎo)數(shù)為負(fù)，那么是極大值點(diǎn)，如果零點(diǎn)左側(cè)導(dǎo)數(shù)為負(fù)，右側(cè)導(dǎo)數(shù)為正，那么是極小值點(diǎn)，或是求導(dǎo)數(shù)后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為定義域內(nèi)存在的問(wèn)題，而本題求一階導(dǎo)數(shù)后函數(shù)非常復(fù)雜，需將導(dǎo)函數(shù)中影響正負(fù)的那部分函數(shù)拿出來(lái)，重新設(shè)一個(gè)新的函數(shù)，再求二階導(dǎo)函數(shù)，求導(dǎo)后可判斷函數(shù)的單調(diào)性和最值，從而判斷是否存在零點(diǎn).