Question

9．如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，點(diǎn)P為DD₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：直線BD₁∥平面PAC；
（Ⅱ）求證：平面PAC⊥平面BDD₁；
（Ⅲ）求直線PB₁與平面PAC所成的角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)BD，AC交于O，連結(jié)OP，由四邊形ABCD為平行四邊形，推斷出OD=OB，又P為DD₁的中點(diǎn)，可知OP∥BD₁，最后利用線面平行的判定定理推斷出BD₁∥平面PAC．
（Ⅱ）由AB=AD，O為BD的中點(diǎn)，推斷出AC⊥BD，進(jìn)而根據(jù)DD₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，推斷出DD₁⊥BD，利用線面垂直的判定定理證明出AC⊥平面BDD₁，進(jìn)而根據(jù)面面垂直的判定定理證明出平面BDD₁⊥平面PAC；
（Ⅲ）因?yàn)镻C²=2，PB₁²=3，B₁C²=5，所以△PB₁C是直角三角形．PB₁⊥PC，同理PB₁⊥PA，根據(jù)線面垂直的判定定理知PB₁⊥平面PAC．

解答 （Ⅰ）證明：設(shè)AC和BD交于點(diǎn)O，連PO，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴OD=OB，
∵P為DD₁的中點(diǎn)，
∴OP∥BD₁，
∵OP?平面PAC，BD₁?平面PAC，
∴BD₁∥平面PAC-------------（4分）
（Ⅱ）證明：∵AB=AD，O為BD的中點(diǎn)，
∴AC⊥BD，
∵DD₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴DD₁⊥BD，
∵DD₁∩DB=D，DD₁?平面BDD₁，DB?平面BDD₁，
∴AC⊥平面BDD₁，
∵AC?平面APC，
∴平面BDD₁⊥平面PAC----（8分）
（Ⅲ）解：因?yàn)镻C²=2，PB₁²=3，B₁C²=5，所以△PB₁C是直角三角形．PB₁⊥PC，
同理PB₁⊥PA，所以直線PB₁⊥平面PAC，直線PB₁與平面PAC所成的角為90°---（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了線面平行和線面垂直的判定定理的應(yīng)用．考查了學(xué)生對(duì)基本定理的記憶和靈活運(yùn)用．