Question

設(shè)f₁（x）=2x-1，f₂（x）=x²，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=f₂（n），數(shù)列{b_n}中，b₁=2，b_n=f₁（b_n-1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：數(shù)列{b_n-1}是等比數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：等比關(guān)系的確定,數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合數(shù)列項(xiàng)和前n項(xiàng)和之間的關(guān)系即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求出b_n的表達(dá)式，利用構(gòu)造法即可證明數(shù)列{b_n-1}是等比數(shù)列．

解答： （1）解：∵f₂（x）=x²，
∴S_n=f₂（n）=n²，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1，滿(mǎn)足a_n=2n-1，
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n-1；
（2）證明：∵f₁（x）=2x-1，b₁=2，b_n=f₁（b_n-1），
∴b_n=f₁（b_n-1）=2b_n-1-1．
即b₁-1=2（b_n-1-1）．
故數(shù)列{b_n-1}是一2為公比的等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解以及等比數(shù)列的判斷，利用構(gòu)造法是解決本題的關(guān)鍵．