Question

13．關(guān)于函數(shù)f（x）=3cos（2x-$\frac{π}{6}$）（x∈R），有下列結(jié)論：
①f（x）表達(dá)式可寫為y=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）；   
②f（x）的最小正周期為2π；
③f（x）的圖象關(guān)于x=$\frac{π}{3}$對(duì)稱；           
④f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{12}$]上單調(diào)遞增．
其中正確的結(jié)論是①④．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

分析 ①根據(jù)三角恒等變換把函數(shù)f（x）可以化為y=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）；   
②求出f（x）的最小正周期即可；
③計(jì)算x=$\frac{π}{3}$時(shí)f（$\frac{π}{3}$）的值即可判斷正誤；           
④根據(jù)x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{12}$]時(shí)2x-$\frac{π}{6}$的取值范圍，即可判斷f（x）的單調(diào)性．

解答 解：對(duì)于①，函數(shù)f（x）=3cos（2x-$\frac{π}{6}$）=3cos（$\frac{π}{6}$-2x）=3sin（$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{6}$+2x）=3sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴f（x）表達(dá)式可寫為y=3sin（2x+$\frac{π}{3}$），原命題正確；   
對(duì)于②，f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π，原命題錯(cuò)誤；
對(duì)于③，x=$\frac{π}{3}$時(shí)，f（$\frac{π}{3}$）=3cos（$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=0，
∴f（x）的圖象不關(guān)于x=$\frac{π}{3}$對(duì)稱，原命題錯(cuò)誤；           
對(duì)于④，x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{12}$]，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，0]，
∴f（x）=3cos（2x-$\frac{π}{6}$）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{12}$]上單調(diào)遞增，原命題正確；
綜上，正確的命題是①④．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了三角恒等變換的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．