Question

4．已知$\overrightarrow a$=（$\sqrt{3}$sinx，m+cosx），$\overrightarrow b$=（cosx，-m+cosx），且f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（1）求函數(shù)的解析式；   
（2）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}}$]時(shí)，求此時(shí)函數(shù)f（x）的最大值，并求出相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析 （1）進(jìn)行向量坐標(biāo)的數(shù)量積運(yùn)算，并根據(jù)二倍角的正余弦公式及兩角和的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而得出f（x）=$sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}-{m}^{2}$；
（2）根據(jù)x的范圍可以求出$2x+\frac{π}{6}$的范圍，這樣根據(jù)正弦函數(shù)的圖象即可求出$sin（2x+\frac{π}{6}）$的最大值，進(jìn)而得出f（x）的最大值及對(duì)應(yīng)x的值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\sqrt{3}sinxcosx+co{s}^{2}x-{m}^{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1+cos2x}{2}-{m}^{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}-{m}^{2}$
=$sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}-{m}^{2}$；
∴$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}-{m}^{2}$；
（2）x∈$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$時(shí)，$2x+\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$；
∴$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{π}{6}$時(shí)，f（x）取最大值$\frac{3}{2}-{m}^{2}$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量坐標(biāo)的數(shù)量積的運(yùn)算，以及二倍角的正余弦公式，兩角和的正弦公式，熟悉正弦函數(shù)的圖象，不等式的性質(zhì)．