Question

2．（Ⅰ）集合M={1，2，（m²-3m-1）+（m²-5m-6）i}，N={3，-1}，M∩N={3}，求實數(shù)m的值．
（Ⅱ）已知1²=$\frac{1}{6}$×1×2×3，1²+2²=$\frac{1}{6}$×2×3×5，1²+2²+3²=$\frac{1}{6}$×3×4×7，1²+2²+3²+4²=$\frac{1}{6}$×4×5×9，由此猜想1²+2²+…+n²（n∈N^*）的表達式并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)交集的定義列出方程組，解方程組求出m的值；
（Ⅱ）歸納法猜想得出1²+2²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$（n∈N^*），再用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：（Ⅰ）由M={1，2，（m²-3m-1）+（m²-5m-6）i}，N={3，-1}，
且M∩N={3}，
得（m²-3m-1）+（m²-5m-6）i=3，
所以，m²-3m-1=3且m²-5m-6=0，---（2分）
解得m=-1；---（4分）
（Ⅱ）歸納猜想，得1²+2²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$（n∈N^*）；---（6分）
證明：（1）當(dāng)n=1時，1²=$\frac{1}{6}$×1×2×3，猜想成立；
（2）假設(shè)n=k（k≥1，且k∈N^*）時，猜想成立，
即1²+2²+…+k²=$\frac{k（k+1）（2k+1）}{6}$，
那么當(dāng)n=k+1時，
1²+2²+…+k²=$\frac{k（k+1）（2k+1）}{6}$+（k+1）²
=$\frac{（k+1）（k+2）（2k+3）}{6}$
=$\frac{（k+1）[（k+1）+1][2k（+1）+1]}{6}$，（k∈N^*），
所以，當(dāng)n=k+1時，猜想成立；
由（1）（2）可知，對任意的正整數(shù)n，猜想都成立．---（12分）

點評 本題考查了交集的定義與運算問題，也考查了數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用問題，是綜合性題目．