Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=（a-1）x-lnx．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若方程f（x）=0有且僅有一個(gè)實(shí)根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)函數(shù)，在定義域內(nèi)對(duì)a進(jìn)行分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化即函數(shù)y=a與函數(shù)$y=\frac{lnx}{x}+1$有且僅有一個(gè)交點(diǎn)-繪出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解．

解答 解：（1）由題可知，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∵$f′（x）=（a\right.-\left.1）-\frac{1}{x}=\frac{（a\right.-\left.1）x-1}{x}$…（1分）
（i）若a-1＜0，即a＜1時(shí)，$f′（x）=\frac{（a\right.-\left.1）x-1}{x}＜0$時(shí)，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
（ii）若a-1=0，即a=1時(shí)，則$f'（x）=-\frac{1}{x}＜0$，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
（iii）若a-1＞0，即a＞1時(shí)，
可得在$（\frac{1}{a-1}，+∞）$上，f'（x）＞0即f（x）在$（\frac{1}{a-1}，+∞）$上單調(diào)遞增，
在$（0，\frac{1}{a-1}）$上，f'（x）＜0即f（x）在$（\frac{1}{a-1}，+∞）$上單調(diào)遞減．…（5分）
所以綜上所述：當(dāng)a≤1時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在$（\frac{1}{a-1}，+∞）$上單調(diào)遞增，在$（\frac{1}{a-1}，+∞）$上單調(diào)遞減．…（6分）
（2）方程f（x）=0有且僅有一個(gè)實(shí)根，
即（a-1）x-lnx=0有且僅有一個(gè)實(shí)根
即$a=\frac{lnx}{x}+1$有且僅有一個(gè)實(shí)根
即函數(shù)y=a與函數(shù)$y=\frac{lnx}{x}+1$有且僅有一個(gè)交點(diǎn)-----------------（8分），
$y′=\frac{1-lnx}{x^2}$，
令y′=0得x=e．
列出x，y′，y的變化情況如下表所示：

x	（0，e）	e	（e，+∞）
y′	+	0	-
y	↗	極大值$\frac{1}{e}$+1	↘

畫出函數(shù)$y=\frac{lnx}{x}+1$的圖形如圖所示，

可知函數(shù)y=a與函數(shù)$y=\frac{lnx}{x}+1$有且僅有一個(gè)交點(diǎn)的a的取值范圍
為$a=1+\frac{1}{e}$或a≤1…（12分）

點(diǎn)評(píng) 考查了導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用和分類討論思想，數(shù)形結(jié)合的綜合應(yīng)用．