Question

15．設O是△ABC的外心，a，b，c分別為角A，B，C對應的邊，已知b²-2b+c²=0，則$\overrightarrow{{B}C}•\overrightarrow{{A}{O}}$的范圍是（　�。�

• A． $（{-\frac{1}{4}，2}]$
• B． $[{-\frac{1}{4}，2}）$
• C． $[{-2，\frac{1}{4}}）$
• D． $（{-2，\frac{1}{4}}]$

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件可畫出△ABC及其外接圓，連接AO并延長，交外接圓于D．所以便得到cos∠BAD=$\frac{AB}{AD}$，cos∠CAD=$\frac{AC}{AD}$，根據(jù)數(shù)量積得到$\overrightarrow{{B}C}•\overrightarrow{{A}{O}}$=（b-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，而根據(jù)c²=2b-b²可求得b的范圍0＜b＜2，所以求出二次函數(shù)$f（b）={（{b-\frac{1}{2}}）^2}-\frac{1}{4}$在（0，2）上的范圍即可．

解答 解：O是△A BC 的三邊中垂線的交點，故O是三角形外接圓的圓心，如圖所示，延長AO交外接圓于D．AD是⊙O的直徑，
所以∠ACD=∠ABD=90°，
$cos∠C{A}D=\frac{{{A}C}}{{{A}D}}$，$cos∠{B}{A}D=\frac{{{A}{B}}}{{{A}D}}$，
所以$\overrightarrow{{A}{O}}•\overrightarrow{{B}C}=\frac{1}{2}\overrightarrow{{A}D}•（{\overrightarrow{{A}C}-\overrightarrow{{A}{B}}}）=\frac{1}{2}\overrightarrow{{A}D}•\overrightarrow{{A}C}-\frac{1}{2}\overrightarrow{{A}D}•\overrightarrow{{A}{B}}$，
=$\frac{1}{2}{|{\overrightarrow{{A}C}}|^2}-\frac{1}{2}{|{\overrightarrow{{A}{B}}}|^2}=\frac{1}{2}{b^2}-\frac{1}{2}{c^2}=\frac{1}{2}{b^2}-\frac{1}{2}（{2b-{b^2}}）={b^2}-b={（{b-\frac{1}{2}}）^2}-\frac{1}{4}$，
因為c²=2b-b²＞0，
所以0＜b＜2，
令$f（b）={（{b-\frac{1}{2}}）^2}-\frac{1}{4}$，
所以當$b=\frac{1}{2}$ 時，有最小值$-\frac{1}{4}$．
因為f（0）=0，f（2）=2，
所以$-\frac{1}{4}≤f（b）＜2$，
所以$\overrightarrow{{B}C}•\overrightarrow{{A}{O}}$ 的范圍是$[{-\frac{1}{4}，2}）$．
故選：B．

點評 本題考查圓的直徑所對的圓周角為90°，用直角三角形的邊表示余弦值，以及二次函數(shù)值域的求法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．