Question

7．給出以下命題：
（1）直線l：y=k（x-3）與雙曲線$\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{5}$=1交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=5，則這樣的直線有3條；
（2）已知空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$，則P，A，B，C四點(diǎn)共面；
（3）已知空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$+2$\overrightarrow{OC}$，則P，A，B，C四點(diǎn)一定不共面；
（4）直線θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R）與曲線ρ=$\frac{1}{1-2cosθ}$（ρ∈R）沒(méi)有公共點(diǎn)．
其中，真命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線和雙曲線的位置關(guān)系進(jìn)行判斷．
（2）根據(jù)四點(diǎn)共面的等價(jià)條件進(jìn)行判斷．
（3）根據(jù)四點(diǎn)共面的等價(jià)條件進(jìn)行判斷．
（4）根據(jù)極坐標(biāo)成立的條件進(jìn)行判斷．

解答 解：（1）由雙曲線方程得a=2，c=3，即直線l：y=k（x-3）過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，
∵雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)之間的距離是2a=4，a+c=2+3=5，
∴當(dāng)直線與雙曲線左右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，當(dāng)k=0時(shí)2a=4，
則滿足|AB|=5的直線有2條，
當(dāng)直線與實(shí)軸垂直時(shí)，
當(dāng)x=c=3時(shí)，得$\frac{9}{4}$-$\frac{y^2}{5}$=1，即$\frac{y^2}{5}$=$\frac{5}{4}$，即y²=$\frac{25}{4}$，則y=±$\frac{5}{2}$，
此時(shí)通徑長(zhǎng)為5，若|AB|=5，則此時(shí)直線AB的斜率不存在，故不滿足條件．綜上可知有2條直線滿足|AB|=5，故（1）錯(cuò)誤，
（2）∵$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$=1，∴P，A，B，C四點(diǎn)共面，故（2）正確，
（3）∵2-1+2=-1≠1，∴P，A，B，C四點(diǎn)一定不共面，故（3）正確，
（4）當(dāng)θ=$\frac{π}{3}$時(shí)，1-2cosθ=1-2cos$\frac{π}{3}$=1-2×$\frac{1}{2}$=1-1=0，
此時(shí)曲線ρ=$\frac{1}{1-2cosθ}$無(wú)意義，即直線θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R）與曲線ρ=$\frac{1}{1-2cosθ}$（ρ∈R）沒(méi)有公共點(diǎn)，故（4）正確，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．