Question

11．如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：y²=4x，Q（-1，0），設(shè)點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線C上一點(diǎn)，且PQ為拋物線C的切線．
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）圓C₁、C₂均與直線OP相切于點(diǎn)P，且均與x軸相切，求圓C₁、C₂的半徑之和．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線PQ的方程為：x=my-1，聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.⇒{y^2}-4my+4=0$
利用PQ為拋物線C的切線，所以△=0求出m，可得點(diǎn)P（1，2）．
（2）OP直線方程為：y=2x，設(shè)圓C₁、C₂的圓心坐標(biāo)分別為（a₁，b₁），（a₂，b₂），其中b₁＞0，b₂＞0，
則圓C₁、C₂的半徑分別為b₁、b₂，利用圓C₁與直線OP相切于點(diǎn)P，推出$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{{b_1}-2}}{{{a_1}-1}}=\frac{1}{2}}\\{\frac{{|{2{a_1}-{b_1}}|}}{{\sqrt{5}}}={b_1}}\end{array}}\right.⇒{b_1}^2-5{b_1}+5=0$．
說明圓C₁、C₂的半徑b₁、b₂是方程b²-5b+5=0的兩根，利用韋達(dá)定理求解即可．

解答 解：（1）設(shè)直線PQ的方程為：x=my-1$\left\{{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.⇒{y^2}-4my+4=0$
因?yàn)镻Q為拋物線C的切線，所以△=16m²-16=0⇒m=±1．
又因?yàn)辄c(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線C上一點(diǎn)，所以m=1，
此時(shí)點(diǎn)P（1，2）．
（2）OP直線方程為：y=2x，
設(shè)圓C₁、C₂的圓心坐標(biāo)分別為（a₁，b₁），（a₂，b₂），其中b₁＞0，b₂＞0，
則圓C₁、C₂的半徑分別為b₁、b₂，
因?yàn)閳AC₁與直線OP相切于點(diǎn)P，所以$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{{b_1}-2}}{{{a_1}-1}}=\frac{1}{2}}\\{\frac{{|{2{a_1}-{b_1}}|}}{{\sqrt{5}}}={b_1}}\end{array}}\right.⇒{b_1}^2-5{b_1}+5=0$．
同理因?yàn)閳AC₂與直線OP相切于點(diǎn)P，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{{b_2}-2}}{{{a_2}-1}}=-\frac{1}{2}}\\{\frac{{|{2{a_2}-{b_2}}|}}{{\sqrt{5}}}={b_2}}\end{array}}\right.⇒{b_2}^2-5{b_2}+5=0$．
即圓C₁、C₂的半徑b₁、b₂是方程b²-5b+5=0的兩根，
故b₁+b₂=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，圓的方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．