Question

15．已知函數(shù)f（x）=2e^x+$\frac{1}{2}a{x^2}$+ax+1有兩個(gè)極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為a＜-2．

Answer 1

分析 由原函數(shù)有兩個(gè)極值，可知其導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為直線y=-ax-a與曲線y=2e^x有兩個(gè)不同交點(diǎn)求解．

解答 解：由$f（x）=2{e}^{x}+\frac{1}{2}a{x}^{2}+ax+1$，
得f′（x）=2e^x+ax+a，
要使$f（x）=2{e}^{x}+\frac{1}{2}a{x}^{2}+ax+1$有兩個(gè)極值，
則方程2e^x+ax+a=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
即2e^x=-ax-a有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
令y=2e^x，y=-ax-a，
直線y=-a（x+1）過(guò)點(diǎn)（-1，0），設(shè)直線y=-a（x+1）與y=2e^x的切點(diǎn)為（${x}_{0}，2{e}^{{x}_{0}}$），
則y′=$2{e}^{{x}_{0}}$，
則切線方程為$y-2{e}^{{x}_{0}}=2{e}^{{x}_{0}}（x-{x}_{0}）$，
代入（-1，0），得$-2{e}^{{x}_{0}}=2{e}^{{x}_{0}}（-1-{x}_{0}）$，解得：x₀=0．
∴切點(diǎn)為（0，2），則過(guò)（-1，0），（0，2）切線的斜率為k=$\frac{2-0}{0-（-1）}=2$，
由-a＞2，得a＜-2．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為a＜-2．
故答案為：a＜-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，求出過(guò)（-1，0）與曲線相切的直線的斜率是關(guān)鍵，是中檔題．